آخرین ارسال های تالار گفتمان
| عنوان | پاسخ | بازديد | توسط |
بازدید :
مرتبه
تاريخ : 12/11/1390 - 22:59:5
تحقیق سال اول دبیرستان و ریاضی معرفی نظریه ی مجموعه نظریه مجموعهها ، سنگ اساسی بنای ریاضیات جدید است. تعریفهای دقیق جمیع مفاهیم ریاضی ، مبتنی بر نظریه مجموعههاست. گذشته از این روشهای استنتاج ریاضی، با استفاده از ترکیبی از استدلالهای منطقی و مجموعه- نظری تنظیم شدهاند. زبان نظریه مجموعهها ، زبان مشترکی است که ریاضیدانان منطقی در سراسر دنیا با آن صحبت کرده و آن را درک میکنند. چنان که اگر کسی بخواهد پیشرفتی در ریاضیات عالی یا کاربردهای عملی آن داشته باشد، باید مفاهیم اساسی و نتایج نظریه مجموعهها و زبانی که در آن بیان شدهاند، آشنا شود. !تاریخچه نظریه مجموعهها نظریه مجموعهها در اواخر قرن نوزدهم به طور عمده توسط جرج کانتوربنیان گذاشته شد. زمانی که کانتور مفاهیم و استدلالهای جدید و متهورانه خود را منتشر کرد، اهمیت آنها تنها توسط تعداد کمی از ریاضیدانان بزرگ درک شد. اما این نظریه در توسعه بعدیاش ، تقریبا در تمام شاخههای ریاضیات نفوذ کرد و تاثیری عمیق بر گسترش آنها داشت. بطوری که حتی باعث تغییر نظریههای تثبیت شده گردید و ریاضیدانان سعی کردند مفاهیم ریاضی را بر اساس نظریه مجموعهها تعریف کنند به عنوان مثال میتوان از تعریف اعداد طبیعی توسط پئانو اشاره کرد. همچنین توسعه بعضی از نظامهای ریاضی ، از قبیل توپولوژی، اساساً به ابزار نظریه مجموعهها وابسته است. از اینها مهمتر ، نظریه مجموعهها نیرویی متحد کننده بدست داد که به تمام شاخههای ریاضیات مبنای مشترک و مفاهیم آنها ، وضوح و دقتی تازه بخشیده است و...... |
|
| هنگامی که میخواهیم با مجموعههای آشنا شویم میتوانیم آنها را به سه صورت مورد بررسی قرار دهیم. مطالعه مجموعهها به کلی و آشنایی عمومی با آنها که هر کس که میخواهد وارد علوم پایه را مورد مطالعه قرار دهد باید این آشنایی را کسب کند، مطالعه مجموعهها به طور طبیعی و مطالعه مجموعهها به صورت اصل موضوعی. در نظریه مجموعهها دو واژه طبیعی و اصل موضوعی دو واژه متضاد هم میباشند. ریاضیات و اهداف آن «ریاضیات علم نظم است و موضوع آن یافتن، توصیف و درک نظمی است که در وضعیتهای ظاهرا پیچیده نهفته است و ابزارهای اصولی این علم ، مفاهیمی هستند که ما را قادر میسازند تا این نظم را توصیف کنیم» . دکتر دیبایی استاد ریاضی دانشگاه تربیت معلم تهران نیز در معرفی این علم میگوید: «علم ریاضی، قانونمند کردن تجربیات طبیعی است که در گیاهان و بقیه مخلوقات مشاهده میکنیم . علوم ریاضیات این تجربیات را دستهبندی و قانونمند کرده و همچنین توسعه میدهند.» دکتر ریاضی استاد ریاضی و رئیس دانشگاه صنعتی امیرکبیر نیز در معرفی این علم میگوید: «ریاضیات علم مدلدهی به سایر علوم است. یعنی زبان مشترک نظریات علمی سایر علوم ، علم ریاضی میباشد و امروزه اگر علمی را نتوان به زبان ریاضی بیان کرد، علم نمیباشد.» اهداف گرایشهای مختلف این رشته عبارتنداز: 1- ریاضی کاربردی: هدف از این شاخه تربیت کارشناسی است که با اندوخته کافی از دانش ریاضی، توانایی تحلیل کمی از مسائل صنعتی، اقتصادی و برنامهریزی را کسب نموده، توان ادامه تحصیل در سطوح بالاتر را داشته باشد. 2- ریاضی محض: هدف از این شاخه ریاضی، تربیت متخصصان جامع در علوم ریاضی است که آمادگی لازم برای ادامه تحصیل در جهت اشتغال به پژوهش و نیز انتقال علم ریاضی در سطوح دانشگاهی را داشته باشند. آشنایی با تجزیه و تحلیل مسائل در قالب ریاضی و مدلسازی ریاضی نیز از اهداف دیگر شاخه ریاضی محض است. 3- ریاضی دبیری: هدف از شاخه دبیری تربیت دبیران و کارشناسان متخصص آموزش ریاضی است که پاسخگوی نیازهای آموزش و پرورش کشور در سطوح پیشدانشگاهی باشند. ماهیت : « ریاضیات بر خلاف تصور بعضی از افراد یکسری فرمول و قواعد نیست که همیشه و در همهجا بتوان از آن استفاده کرد بلکه ریاضیات درست فهمیدن صورت مساله و درست فکر کردن برای رسیدن به جواب است و برای به دست آوردن این توانایی ، دانشجو باید صبر و پشتکار لازم را داشته باشد تا بتواند حتی به مدت چندین ساعت در مورد یک مساله ریاضی فکر کرده و در نهایت با ابتکار و خلاقیت آن را حل کند» فارغالتحصیلان این رشته میتوانند پس از پایان تحصیلات، در ادارات دولتی برای مسوولیتهایی که به نوعی با تجزیه و تحلیل مسائل سروکار دارند، در بخش خصوصی در اموری همانند طراحی سیستمها در امر بهینهسازی و بهرهوری ، در بخش صنعت برای اموری همانند مدلسازیهای ریاضی و در آموزش و پرورش و ... ، مسوولیتهای متفاوتی را به عهده گیرند. گرایشهای مقطع لیسانس: «رئیس اتحادیه بینالمللی ریاضیدانان جهان در یازدهمین اجلاس آکادمی جهان سوم که اخیرا در تهران برگزار شد، عنوان کرد که بهتر است بگوییم ریاضیات و کاربردهای آن، نه اینکه ریاضیات را به محض و کاربردی تفکیک کنیم چرا که به اعتقاد ریاضیدانها هیچ مقوله ریاضی نیست که روزی کاربردی برای آن پیدا نشود.» «ریاضیات محض بیشتر به قضایا و استدلالها ، منطق موجود در آنها و چگونگی اثباتشان میپردازد اما در ریاضیات کاربردی چگونه استفاده کردن و به کارگرفتن قضایا، آموزش داده میشود، به عبارت دیگر در این شاخه، کاربرد ریاضیات در مسائل موجود در جامعه بیان میگردد» «وقتی صحبت از ریاضی محض میشود نباید تصور کرد که تنها باید در گوشهای نشست و به حل مسائل ریاضی پرداخت بلکه این علم ، بخصوص در مدارج بالا، ارتباط نزدیکی با طبیعت دارد به عبارت دیگر ایدههای ریاضی از ذهن پژوهشگران نمیروید بلکه ریاضیدانها غالبا الهام خود را از طبیعت میگیرند و به قول «ژان باپتیت فوریه» ریاضیدان مشهور قرن نوزدهم فرانسه «تعمق در طبیعت، پربارترین منابع اکتشافات ریاضی است.» عموما ریاضیات کاربردی به شاخهای از ریاضی گفته میشود که کاربرد علمی مشخصی داشته باشد برای مثال در اقتصاد، کامپیوتر،فیزیک و یا آمار و احتمال کاربرد داشته باشد و ریاضی محض نیز به شاخهای گفته میشود که به نظریهپردازی ریاضی میپردازد اما باید توجه داشت که امروزه این دو گرایش آنچنان در هم ادغام شدهاندکه مرزی را نمیتوان بین آنها مشخص کرد. زیا گاه یک تئوری کاملا محض وارد مرحله کاربردی شده و چون در عمل با مشکل روبرو میشود، بار دیگر به حوزه تئوری برمیگردد و در نهایت پس از رفع نقایص، دوباره وارد مرحله کاربردی میشود. یعنی یک تعامل و ارتباط دوجانبهای بین ریاضی کاربردی و محض وجود دارد و هریک از این دو شاخه، از تجربیات شاخه دیگر به بهترین نحو استفاده میکند و به همین دلیل یک ریاضیدان موفق باید از هر دو شاخه اطلاع داشته باشد.» معرفی مختصری از درسهای تخصصی گرایش ریاضی کاربردی ریاضیات گسسته: هدف از این درس، آشنایی با زمینههای مختلف ریاضیات گسسته و کاربردهای آن با تاکید بر اثبات و ارائه الگوریتمهای مناسب است. سرفصلهای این درس عبارتنداز : معادله تفاضلی و رابطه بازگشتی ، تابع مولد، اصل شمول و طرد، گراف و ماتریس، تطابق و دیگر کاربردهای گراف، جبربول و کاربردهای آن و آشنایی با طرحهای بلوکی، مربع لاتین، صفحههای تصویری ، کدگذاری و رمزنگاری. برنامهسازی پیشرفته : در این درس، دانشجویان به مباحثی همچون برنامهسازی صحیح ، مستند سازی برنامهها ، برنامهسازی ساخت یافته، آشنایی با زبان دوم برنامهسازی و مقایسه آن با زبان اول، اشکالزدایی و آزمایش برنامه، حصول اطمینان از صحت برنامهها ، الگوریتمهای غیر عددی شامل : پردازش رشتهها، روشهای جستجو و مرتب کردن ، آشنایی مقدماتی با کامپایلرها و دیگر برنامههای مترجم، اجرای طرحهای بزرگ و ... میپردازند. آنالیز عددی: هدف از این درس، ارائه الگوریتمهای عددی و بررسی خطاهای ایجاد شده از حل عددی مسائل است. در خصوص روشهای تکراری، بررسی همگرایی و نرخ همگرایی نیز مورد تاکید میباشند. در این درس سرفصلهای موجود عبارتند از : نمایش اعداد حقیقی، انواع مختلف خطاها، آنالیز خطاها ، حل معادلات خطی، مشتق و انتگرالگیری عددی و حل معادلات دیفرانسیل عددی و ... . ساختمان دادهها: در این درس، دانشجویان با آرایهها ، بردارها، ماتریسها ، صفها و ردیفا، لیستهای پیوندی ، خطی، حلقوی ، روش نمایش و کاربرد لیستهای پیوندی ، درختها و پیمایش آنها، روش نمایش و کاربرد درختها، درختهای تصمیمگیری ، گرافها و نمایش آنها، تخصیص حافظه به صورت پویا و مسائل مربوط آشنا میشوند. تحقیق در عملیات: در این درس ، دانشجویان با زمینه تحقیق در عملیات، انواع مدلها و مدلهای ریاضی، برنامهریزی خطی، شبکهها و مدل حمل و نقل، سایر مدلهای مشابه، آشنایی با برنامهریزی متغیرهای صحیح ،برنامهریزی پویا، برنامهریزی غیرخطی و مدلهای احتمالی آشنا میگردند. آینده شغلی ، بازار کار ، درآمد: «کاربرد ریاضی در علوم مختلف انکارناپذیر است. برای مثال مبحث آنالیز تابعی در مکانیک کوانتومی، کاربرد بسیاری زیادی دارد و یا در بیشتر رشتههای مهندسی معادله «لاپ لاسی» که یک معادله ریاضی است، مورد استفاده قرار میگیرد. در جامعهشناسی نیز نظریه احتمال و نظریه گروهها نقش بسیار مهمی ایفا میکند. در کل باید گفت که همه صنایع ،زیر ساخت ریاضی دارند و به همین دلیل در همه مراکز صنعتی و تحقیقاتی دنیا، ریاضیدانها در کنار مهندسان و دانشمندان سایر علوم حضوری فعال دارند و آنچه در نهایت ارائه میشود، نتیجه کار تیمی آنهاست.» دکتر ریاضی از اساتید دانشگاه در مورد فرصتهای شغلی موجود در ایران میگوید: «اگر در جامعه ما مشاغل جنبه علمی داشته باشند، قطعا به تعداد قابل توجهی ریاضیدان نیاز خواهیم داشت چون یک ریاضیدان میتواند مشکلات را به روش علمی حل کند. البته این به آن معنا نیست که در حال حاضر هیچ فرصت شغلی برای یک ریاضیدان وجود ندارد اما باید حضور ریاضیدانها در مراکز تحقیقاتی و صنعتی پررنگتر باشد.» هرچقدر که شغل یک فرد تخصصیتر شود، میزان ریاضیاتی که لازم دارد، بیشتر میگردد. برای مثال یک مهندس الکترونیک از آنالیز تابعی و فرآیندهای تصادفی استفاده میکند و یا یک برنامهریز پروژههای اقتصادی از مطالب پیشرفته آماری مانند سریهای زمانی ، به عنوان ابزار کار یاری میگیرد. به همین دلیل امروزه تربیت متخصصان علم ریاضی، یعنی افرادی که قادر هستند ریاضیات مورد نیاز را آموزش داده و یا تولید کنند، اهمیت بسیار زیادی دارد. چرا که لازمه پیشرفت در تکنولوژی ، توجه به دانش ریاضی میباشد. اما یکی از دانشجویان این رشته نظر جالبی در مورد توانایی یک فارغالتحصیل رشته ریاضی دارد: «درست است که در جامعه ما مکان مشخصی برای جذب فارغالتحصیلان ریاضی وجود ندارد اما یک لیسانس ریاضی به دلیل نظم فکری و بینش عمیقی که در طی تحصیل به دست میآورد، میتواند با مطالعه و تلاش شخصی در بسیاری از شغلها ، حتی شغلهایی که در ظاهر ارتباطی با ریاضی ندارد موفق گردد.» تواناییهای مورد نیاز و قابل توصیه : شاید مهمترین توانایی علمی یک دانشجوی ریاضی ، تسلط بر درس ریاضی دبیرستان باشد که این امر صرفا زاییده علاقه شخصی به این درس است. «این رشته نیازمند دانشجویانی است که از نظر ذهنی آمادگی جذب ایدههای جدید را داشته باشند و بتوانند الگوها و نظم را درک کرده و مسائل غیرمتعارف را حل کنند. به عبارت دیگر یک روحیه علمی ، تفکر انتقادی و توانایی تجزیه و تحلیل داشته باشند.» از آنجا که ریاضیات ورود به عرصههای ناشناخته و کشف قوانین آن است ، علاقمندی به مباحث ریاضی از همان دوران تحصیل در دبیرستان مشخص میشود. همین علاقمندی است که میتواند راههای بسیار سخت را برای دانشجوی این رشته هموار سازد. یک ریاضیدان قبل از هرچیز باید جرات قدمگذاری در وادی ناشناختهها را داشته باشد. بطور کلی دقت ،تجزیه و تحلیل صحیح و صبر و پشتکار سه عامل اصلی در توفیق داوطلب در این رشته میباشد. وضعیت نیاز کشور به این رشته در حال حاضر: دکتر بابلیان معتقد است هر وزارتخانه یا شرکتی نیاز به افرادی دارد که علاوه بر دانستن الفبای کامپیوتر، دارای توانایی تجزیه و تحلیل و تصمیمگیری مناسب باشند. در این زمینه شرکتها میتوانند فارغالتحصیلان ریاضی محض و یا کاربردی را جذب نمایند. رشتههای مختلف ریاضی جایگاه وسیعی در جامعه دارند از آن جمله : تمام رشتههای مهندسی ، رشتههای مختلف علوم پایه (فیزیک ، شیمی ،زیستشناسی، زمین شناسی)، پزشکی، علوم کامپیوتر، اکتشافات فضایی، بازرگانی، برنامهریزیهای دولتی، غالب رشتههای وابسته به صنعت ، مدیریت و رشتههای مختلف کشاورزی به رشته ریاضی وابستهاند و از آن به طور مستقیم استفاده میکنند؛ همچنین بخش بزرگی از فعالیتهای اقتصادی و تولیدی کشور در طرحهای مختلف نظیر: نفت ، پتروشیمی، حمل و نقل و ... ، مستقیم و یا غیرمستقیم از ریاضی استفاده میکنند. نکات تکمیلی : گرایشهای مختلف مقاطع کارشناسی ارشد و دکتری فارغالتحصیلان مقاطع کارشناسی ریاضی کاربردی میتوانند در مقاطع کارشناسی ارشد در گرایشهای مختلف: تحقیق در عملیات ، آنالیز عددی ، بهینه سازی و نظریه کنترل به تحصیل ادامه دهند. فارغالتحصیلان کارشناسی ریاضی محض و دبیری میتوانند در مقاطع کارشناسی ارشد در گرایشهای مختلف آنالیز ریاضی، جبر، هندسه و معادلات دیفرانسیل ادامه تحصیل دهند. در هر یک از گرایشهای یاد شده زیر شاخههای تخصصیتری وجود دارد که در مقطع دکترای تخصصی (P.h.D) و نیز در رساله دکتری به آن پرداخته میشود. تواناییهای فارغالتحصیلان مقاطع کارشناسی ارشد و دکتری نظر به این که در مقاطع تحصیلات تکمیلی به جنبههای پژوهشی، تحقیقاتی و کاربردی با دیدی عمیقتر پرداخته میشود، فارغالتحصیلان این مقاطع دارای تواناییهای علمی و تحقیقاتی و محاسباتی زیادی هستند و در کارهای اجرایی نقش مهم و ارزندهای دارند. در مقطع دکتری، دانشجویان ضمن افزایش مراتب علمی خود در یک زمینه خاص، قدرت ، توان و صلاحیت خود را در جهت انجام طرحهای تحقیقاتی در سطح ملی و منطقهای افزایش میدهند و قادر به توسعه مرزهای دانش و رفع معضلات علمی و اجرایی از طریق پژوهش میباشند. فارغالتحصیلان مقاطع تحصیلات تکمیلی میتوانند با توجه به تخصص ویژه خود، در مراکز علمی و پژوهشی، مراکز تحقیقاتی، دانشگاهها و صنایع و مراکز آموزش عالی به عنوان عضو هیات علمی یا عضو پژوهشی جذب گردند. خوشبختانه با رویکرد صنایع و موسسات به انجام امور تحقیقاتی، هماکنون امکان جذب بسیاری از فارغالتحصیلان تحصیلات تکمیلی رشتههای ریاضی ، فراهم شده است. رادیکال ها به طور کلی اگر باشد آنگاه عدد a را ریشه ی n ام عدد b می نامیم و آن را به صورت زیر نمایش می دهیم. و n را هم فرجه می نامیم. اگر رادیکال فرجه نداشته باشد فرجه ی آن 2 است که به آن جذر یا ریشه ی دوم می گوییم. اگر فرجه ی رادیکال 3 باشد به آن کعب یا ریشه ی سوم می گوییم. اگر توان عدد یا عبارت زیر رادیکال برابر فرجه ی رادیکال باشد یا بر آن بخشپذیر باشد، توان را با فرجه ی رادیکال ساده می کنیم آنگاه عدد یا عبارت را زیر رادیکال بیرون می آید. 4 عمل اصلی روی رادیکال ها: 1- جمع و تفریق رادیکال: در صورتی دو یا چند رادیکال را می توان جمع جبری نمود که هم فرجه و هم عبارت زیر رادیکال مثل هم باشند، در این صورت ضرایب رادیکال ها را با هم جمع جبری می کنیم.مثال: 2- ضرب و تقسیم رادیکال ها: الف- فرجه ها یکسان باشد: در ضرب و تقسیم دو رادیکال با فرجه ی یکسان، یک رادیکال را با همان فرجه می نویسیم، سپس زیر رادیکال ها را در هم ضرب و یا بر هم تقسیم می کنیم.ضمناً در صورتی که رادیکال ها ضرایب داشته باشند، ضرایب آن ها را نیز در هم ضرب یا بر هم تقسیم می کنیم.مثال: ب- فرجه ها یکسان نباشند: در ضرب و تقسیم رادیکال هایی که فرجه ی آن یکسان نیست باید فرجه ی مشترک بگیریم یعنی کوچکترین عددی که بر تمام فرجه ها بخش پذیر است، فرجه ی مشترک قرار دهیم. مثال: مثال: به توان رساندن رادیکال: اگر یک رادیکال را به توان برسانیم فقط زیر رادیکال به توان می رسد یعنی: اگر m,n اعداد طبیعی باشند بنا به تعریف می توان نوشت: اگر m زوج باشد، نمی تواند منفی باشد: ساده کردن رادیکال ها: 1- در بعضی از موارد عدد زیر رادیکال مجذور کامل نباشد می توان آن را به صورت حاصل ضرب دو یا چند عدد نوشت به طوری که یکی از آنها مجذور کامل باشد، سپس عددی که جذر کامل دارد از زیر رادیکال خارج می شود. مثال: 2- در صورتی که توان عدد زیر رادیکال برابر فرجه رادیکال یا مضربی از فرجه ی رادیکال باشد عدد را می نویسیم و نما برابر فرجه تقسیم می کنیم و حاصل را نمای جدید عدد قرار می دهیم با این عمل رادیکال حذف می شود. مثال: رادیکال و مثلثات رادیکال ها: 1-هر عدد توان دار که توان آن عددی کسری باشد، به صورت رادیکال نشان می دهند. تذکر: n را فرجه ی توان دار رادیکال می نامند. 2-اگر فرجه ی رادیکال زوج باشد، زیر رادیکال نمی تواند منفی باشد. 3-دو رادیکال را زمانی می توان با هم جمع و تفریق کرد که هم فرجه و هم عدد زیر رادیکال ها با هم برابر باشند. 4-برای ضرب کردن یا تقسیم دو رادیکال باید فرجه های آن را با هم برابر کرد: 5-اگر عددی را بخواهیم داخل رادیکال ببریم کافی است آن عدد را به توان فرجه برسانیم سپس آن را به داخل رادیکال ببریم. 6- روش های گویا کردن مخرج کسر: (منظور از گویا کردن مخرج کسرها این است که کاری کنیم تا در مخرج کسرها عبارت رادیکالی نداشته باشیم) الف) روش اول ب) ضرب کردن در مزدوج مخرج با استفاده از اتحاد مزدوج: هم ارزی رادیکالی در توابعی تقسیم دو دوجمله ای بر هم اگر درجه صورت از مخرج بیشتر باشد , حد تابع در برابر و اگر درجه مخرج بیشتر باشد , حد تابع برابر صفر است. 1-هر چند جمله ای از x وقتی , هم ارز است با جمله ای که توان x در آن بیشتر است. 2-هم ارزی های رادیکالی : در رفع ابهام ها می توانیم از هم ارزی های زیر استفاده کنیم : معادله معادله (واژه فارسی: هَمچَند[۱]) در ریاضیات بیان برابری دو چیز با استفاده از نمادهاست. در تمام معادلهها علامت تساوی (=) دیده میشود. هر معادله دو طرف دارد که در دو طرف علامت تساوی ظاهر میشوند. در ریاضی معادله معمولاً بیان برابری دو عبارت است که در یکی یا هردوی آنها متغیر یا متغیرهائی وجود دارند. معادلههائی که فارغ از ارزش (یا مقدار) متغیرها همواره درست باشند، اتحاد نامیده میشوند. مثلاً معادله x − x = 0 اتحاد است چون x هر چه باشد این برابری همواره درست است. ولی معادله x + 1 = 2 اتحاد نیست چون فقط اگر مقدار x عدد ۱ باشد این برابری برقرار است. مقادیری از متغیرها را که باعث برقراری رابطه برابری در معادله میشود، "جواب معادله" مینامند. مثلاً در مثال قبل عدد ۱ جواب معادله است. پیدا کردن جواب معادله را "حل معادله" مینامند. برای حل معادله باید از خوش تعریفی توابع استفاده کرد مثلاً تابع f(x) = x − 1 را بر دو طرف تساوی اثر داده و معادله جدیدی بدست می آوریم مثلاً در مثال قبل بدست می آوریم: x + 1 − 1 = 2 − 1 x = 1 برای اینکه به جواب برسیم باید توابعی را اثر دهیم که x تنها در یک طرف معادله باشد.نکته مهم اینجاست که وقتی تابع یک به یک باشد جواب دو معادله باهم برابر است. ریشهیابی معادلات ریشه های یک معادله ( The roots of an equation )، نقاط تلاقی نمودار آن معادله با محورهای مختصات می باشد. به طور معمول از آن جا که توابع را در حالت استاندارد y نسبت به x تعریف می کنند، ریشه های یک معادله را نقاط برخورد معادله با محور x ها در نظر می گیرند. برای مثال ریشه های معادله ی فرضی axn + bxn − 1 + cxn − 2 + .... + C = y نسبت به محور x ها در واقع مجموعه ای از نقاط اشتراک نمودار معادله با محور x ها می باشد و چون آن نقاط بر روی محور x ها واقع می باشند یعنی دارای عرض صفر هستند ، بدین منظور باید مقدار x را در معادله ای که عرض ( y ) آن صفر است درآوریم. حل معادله درجه ی اول برای پیدا کردن ریشه های x یک معادله ی درجه اول باید مقدار x را از حالت کلی معادلات درجه اول به دست آوریم. حالت کلی معادلات درجه ی اول برابر y2 − y1 = mx می باشد که در آن y2 عرض اصلی ، y1 عرض اولیه ، m شیب نمودار و x متغیر طول نمودار می باشد ، همچنین در اکثر منابع شکل اصلی معادلات درجه ی اول به صورت y = mx + h نمایش داده می شود که در آن h همان عرض اولیه است که به اختصار از کلمه ی height استفاده می شود روش حل معادلات درجه ی اول بدین گونه است : چون می خواهیم نقاط تلاقی نمودار با محور x ها را پیدا کنیم عرض آن ( y ) را برابر صفر قرار می دهیم و داریم : mx + h = 0 با حل معادله ی فوق به ترتیب زیر مقدار x را بدست می آوریم : mx = − h و می بینیم که مقدار x همواره برابر است با حاصل تقسیم عرض از مبداً معادله بر شیب آن. بنابراین هنگامی که عرض از مبداً معادله صفر باشد ریشه ی معادله نیز صفر است و نمودار معادله از مبداً مختصات خواهد گذشت. دستگاه مختصات دکارتی مقدمه خط حقیقی: برای نمایش اعداد حقیقی ازیک دستگاه مختصات بنام خط حقیقی با محورXاستفاده می کنیم. عدد حقیقی نظیر یک نقطه روی خط حقیقی مختص آن نقطه نامیده می شود. همان طور که می دانیم نقطه ای از خط حقیقی که نظیر صفر است مبدا نامیده می شود و اعدادی که در سمت راست مبدا واقع می شوند طبق قرداد اعداد مثبت و اعدادی که در سمت چپ مبدا منفی شده اند. هر نقطه روی خط حقیقی نظیر یک و تنها یک عدد حقیقی است. این نوع رابطه را تناظر یک به یک می نامند. صفحه دکارتی همانطور که اعداد حقیقی را میتوان با نقاط روی خط حقیقی نشان داد، جفتهای مرتب اعداد حقیقی را میتوان با نقاط روی یک صفحه نمایش داد. جفت مرتب X,Yاز اعداد حقیقی دارای عضو اول X عضو دوم Yاست. مدل نمایش جفتهای مرتب را دستگاه مختصات قائم یا صفحه دکارتی مینامند. این مدل عبارت است از دو خط عبارت است از دو خط حقیقی که در زوایای قائم متقاطع میباشند. خط حقیقی افقی را معمولا محور X و خط حقیقی قائم را محور Y می نامند. نقطه اشتراکشان مبدأ نام دارد. همانطور که گفتیم صفحه مختصات دکارتی از متقاطع شدن دو محور حقیقی با یکدیگر در نقطهای به نام مبدأ حاصل میگردد. این تقاطع صفحه را به دو قسمت تقسیم میکند که به هر یک از این قسمتها یک ربع گفته میشود. بنابراین توسط دستگاه مختصات دکارتی ما میتوانیم یک صفحه را به چهار ربع تقسیم کنیم. مختصات یک نقطه در صفحه دکارتی نقاط از دو مؤلفه به نامهای (ایکس) و (ایگرگ) تشکیل یافته اند که با یکدیگر تشکیل جفت های مرتب را می دهند مانند (ایکس) و (ایگرگ) در واقع جفت های مرتب (ایکس) و (ایگرگ) مختصات یک نقطه در صفحه دکارتی میباشند. عدد (ایکس) فاصله جهت دار از محور (ایگرگ) تا نقطه و (ایگرگ) فاصله ی جهت دار از محور (ایکس) تا نقطه می باشند.. Fig. 1 -تصویر 1- سیستم مختصات دکارتی. نقاط عبارتاند از:(۲،۳) با رنگ سبز. (۳،۱-)با رنگ قرمز. (۲٫۵-،۱٫۵-) با رنگ آبی. مبدا مختصات (۰،۰) با بنفش. دستگاه مختصات دکارتی، در ریاضیات، به نمایش هر نقطه از صفحه با دو عدد (یک زوج مرتب) گفته میشود. این دو عدد را معمولاً به نامهای مختصه X و مختصه Y میخوانند. برای نمایش هندسی هر نقطه دو خط عمود بر هم را، که محور مختصات X (خِفت یا آبسیس) و محور مختصات Y، (یا اردنه) نامیده میشوند، رسم میکنند و از محل تقاطع این دو محور، که مبدا مختصات نام دارد، روی هر محور به اندازه مختصه X و مختصه Y دو طول را (بر حسب واحد طول) مشخص میکنند. خطهایی که در انتهای این طولها عمود بر محورهای مختصات رسم شود در نقطهای یکدیگر را قطع میکنند. این محل تقاطع نمایش هندسی نقطه مورد نظر است. نام این دستگاه مختصات از نام ریاضیدان و فیلسوف فرانسوی رنه دکارت (۹۷۴-۱۰۲۸) که این روش را برای مشخص کردن یک نقطه در صفحه کشف کرد، گرفته شدهاست. با کاربرد دستگاه مختصات دکارتی امکان رسم معادلات جبری به صورت خط و منحنی و یا محاسبه زوایا و فواصل و همچنین نوشتن معادله مختصات یک شکل در صفحه فراهم میشود. دستگاه مختصات قطبی مقدمه میدانیم که یک نقطه از صفحه را میتوان بوسیله یک دستگاه مختصات مشخص کرد اینگونه مختصات به مختصات دکارتی موسوم هستند که به افتخار ریاضیدان و فیلسوف فرانسوی رنه دکارت (974-1028) که این روش را برای مشخص کردن یک نقطه در صفحه کشف کرد نامگذاری شده است. طریقه دیگری برای مشخص کردن محل یک نقطه در صفحه ، مختصات قطبی است. تعریف دو نوع مختصات یعنی دکارتی و قطبی به صورت زیر به یکدیگر قابل تبدیل هستند. روش کار برای تعیین مختصات قطبی نقطهای چون در صفحه ابتدا یک مبدأ اختیار میکنیم و یک محور یا نیم خط یا شعاع نخستین که بر آن بگذرد در نظر میگیریم. مختصات نقطه را به و برابر است با فاصله جهتدار از تا و ، همانند مثلثات ، زاویه در مختصات دکارتی را بصورت در مختصات قطبی نمایش دهیم. مزیت بزرگی است اگر بتوانیم از مختصات قطبی و دکارتی بطور همزمان استفاده میکنیم. برای این منظور ، یک مبدا مشترک انتخاب کرده. جهت مثبت محور ها را منطبق بر شعاع نخستین و جهت مثبت محور ها را منطبق بر شعاع اختیار میکنیم، در اینصورت دو نوع مختصاتی در شکل زیر نشان داده شدهاند با یکدیگر چنین مربوط میشوند: این دو رابطه مقدار , را در حالت r>0 مشخص میکنند. البته این روابط برای r<0 نیز برقرارند، زیرا طبق قوانین مثلثات میدانیم: بنابراین های منفی از شعاع متناظر با های مثبت از شعاع . بدیهی است که هرگاه ، آنگاه و مبدأ مختصات میباشد. مکان هندسی نقاط که در شرط و عدد ثابت صدق کنند دایره به مرکز مبدأ و شعاع است و وقتی که از 0 درجه تا 360 درجه تغییر کند نقطه P دایره را یک دور خواهد پیمود. از طرف دیگر اگر را مقدار ثابتی ، چون اختیار کرده را تغییر دهیم مکان هندسی نقطه خط راستی خواهد بود. این حقیقت که در مختصات قطبی یک نقطه را میتوان به راههای مختلفی نشان داد، در بعضی موارد دقت بیشترین را ایجاب میکند. مثلا با آن که مختصات در رابطه صدق نمیکند ولی این نقطه بر منحنی نمایش این معادله واقع است، زیرا که همان نقطه را میتوان بوسیله نیز نشان داد و این مختصات نقطه در معادله صادق است. نمودار معادلات قطبی نمودار معادلهای بصورت تشکیل شده است از کلیه نقاطی که مختصاتشان (بصورتی) در معادله صدق کنند. اکثر اوقات میتوان از معادله ، را بطور صریح برحسب پیدا کرد با دادن یک مقدار به و محاسبه مقدار متناظرش برای میتوان هرچند نقطه از منحنی را که خواسته شود بدست آورد. بخصوص مطلوب است تعیین نقاطی که در آنها ، Max یا Min است و یا تعیین در اوقاتی که منحنی بر مبدأ مختصات میگذرد البته اگر بگذرد. بسادگی میتوان بعضی از انواع تقارن را در نمودار منحنی پیدا کرد. مثلا اگر: 1. اگر از تبدیل به در معادله تغییری حاصل نشد منحنی نسبت به مبدأ مختصات متقارن است. 2. اگر از تبدیل به در معادله تغییری حاصل نشد منحنی نسبت به محور ها متقارن است. 3. اگر از تبدیل به در معادله تغییری حاصل نشد منحنی نسبت به محور ها متقارن است. معادلات قطبی مقاطع مخروطی و منحنیهای دیگر روابط مابین مختصات قطبی و دکارتی که درباره عنوان شد ما را قادر میسازد تا هر معادله دکارتی را به یک معادله قطبی برای همان منحنی تبدیل کنیم یعنی تنها کاری که باید انجام دهیم جاگذاری به جای و به جای و تعیین و مناسب برای معادله است دقت میکنیم ثابتها دیگر روی معادله اولیه به همان شکل قبلی در معادله قطبی ظاهر خواهند شد. کاربرد مهمترین و در واقع اصلیترین کاربرد مختصات قطبی در محاسبه انتگرالها میباشد. گاها حل یک انتگرال در مختصات دکارتی مشکل و یا غیر قابل حل است، در اینگونه شرایط با یک تغییر متغیر مناسب میتوان انتگرال را در مختصات قطبی حل و به جواب مورد نظر رساند. |
|
لینک ثابت
موضوع : مطالب عمومی
ارسال توسط shahedirhr
|
|
|
نمایش صفحه ی 1 از 1 ( 15 نمایش در هر صفحه ) |
